明代的數學研究者大抵可以分為三個類別，其一是商人出身，因為商業經營必然會涉及數學知識，有些出身商人家庭的數學家從小就對數學產生興趣，然後潛心研究最終成就一番事業，比如明代數學水平最高的王文素以及推動了珠算發展的程大位都是如此。
其二是文人出身，算學也是君子六藝之一，而且文人有錢有閒，有能力從事這方面的研究，嘉靖年間的南京刑部尚書顧應祥，明朝末期的徐光啟、孫元化都是其中的代表。
第三種則是官員的幕僚，那些通過科舉考試獲得當官資格的文人，可不是誰都像顧應祥、徐光啟一樣掌握數學能力的，然而他們日常治理地方又少不了要用到數學，起碼你得把交給朝廷的錢糧算準吧？
所以那些縣令、知府上任的時候往往都會帶上幾位師爺幫他處理雜事，刑名師爺負責幫忙斷案，錢糧師爺負責收稅，後者必須有一定數學能力。
因此在官員幕僚中也誕生出了一些對數學研究頗深的人才，其中的佼佼者就是曾幾次擔任浙江布政使司幕僚的杭州人吳敬。
許長生想為高顯找一位好老師，這不光能傳授他經商所需的數學知識，還能藉助此人來推動大明科學技術的進步，一般人肯定無法滿足他的需求，要是能找到上述幾人中的某位自然最好。
而這些人里，現在已經出生的就只剩下吳敬了。
更巧的是，吳敬此時就在京城，他侍奉的浙江布政使前不久剛剛調任他處，吳敬暫時沒了工作，便來京城遊歷，試圖搜集算學著作、和精於算學的同好交流。
許長生是在沿運河北上途中偶爾得知這一消息的，他先在只知道吳敬來了京城，卻不知道他住在哪裡，不過沒關係，先去浙江會館打聽便是。
現在的人進京之後都喜歡住在同鄉會館，吳敬又是有一定名氣的人，應該能打聽到，就算浙江會館找不到，還可以去欽天監，現如今精於算學的人幾乎都在這裡。
沒費多大功夫，許長生就在浙江會館打聽到了吳敬的下落，吳敬剛剛進京的時候的確住在這裡，後來嫌這邊人多嘈雜，便去了一處冷清的寺廟居住。
許長生找到吳敬的時候，他正在和一名同好交流數學題呢，「遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，
共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？」
這題簡單，用現代數學語言表達就是七層寶塔上掛了許多紅燈，下一層燈的盞數是上一層燈的盞數的2倍，共有381盞燈，求頂層有幾盞燈。
解題也容易，用初中的等比數列知識就能得到答案，設塔底有x盞燈，每一層的燈翻倍，第二層為2x，第三層為4x......
以此類推列出算式：x+2*x+4*x+8*x+16*x+32*x+64*x=381。
解方程求出x=3，塔頂燈數就3*64=192。
「塔頂一百九十二盞燈！」吳敬對面那人還在皺眉計算，許長生便直接報出了答案。
倆人同時回過頭來看著大腹便便的許長生，不僅沒有因為被打斷而生氣，反倒滿臉的喜色，因為在大明想找個能交流算學的同好那可是太不容易了。
「在下杭州吳敬，這位是欽天監漏刻博士貝琳，敢問先生是？」倆人連忙起身問道。
「在下山西商人馬建林，專程為拜訪信民先生而來，聽到題目一時技癢，還請不要見怪！」許長生回禮道，信民是吳敬的字。
「原來是馬賢弟，快請坐！」吳敬、貝琳二人並未因為對方自報商人身份而心生嫌棄，反倒殷勤地將他迎到裡面就坐，並親自為他斟茶。
「此題馬賢弟是如何解出的？馬賢弟可是讀過《九章算術》？」不等許長生坐好，吳敬就急切地問道。
他曾經多次尋找《九章算術》全本，可惜花了十多年功夫也沒湊齊，而他剛才出的那道題，其實就是從《九章算術》中一道題演化而來的。
原題是「今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？」這兩道都用到了等比數列的知識。
「以天元術可解，立塔底燈數為天元一，則二層為二倍天元一，以此類推即可算出塔底燈數為三.......」許長生用手指沾著茶水把計算過程在桌上寫了出來。
不等他二人反應過來，許長生就直接來了個狠的，「信民先生這道題涉及到了等比數列，哦，我將前一數與後一數比值固定的一串長數稱之為等比數列，而等比數列求和其實有更簡單的辦法......用首數乘以一減公比的項數次方再除以一減公比即可，只要公比不為一，都能通過此式求和！」
許長生繼續用茶水把等比數列求和公式用古典數學的表達方式寫了出來，整個過程中，吳敬和貝琳就像是歐陽鋒看到了《九陰真經》一般，瞪大眼睛一眨也不敢眨，生怕錯過任何一個細節。
等他寫完，吳敬、貝琳馬上拿來驗算各自記得的等比數列題目，結果正如許長生所說那般，簡簡單單一個公式，就能計算出等比數列前幾項的和。
「馬賢弟此法是從何得來？」吳敬又追問道。
「得自蒙元司天台提點扎馬魯丁的《四擘算法段數》。」許長生答道。
許多古文明都發現了等比數列的奧秘，而最早給出準確求和公式的則是歐幾里得，他將這一成就記錄在《幾何原本》中。
好多人都認為《幾何原本》是明末時期才由傳教士利瑪竇帶到中國的，其實不然。
唐朝末期，阿拉伯世界興起了將古希臘、羅馬、波斯等國的學術典籍譯為阿拉伯語的熱潮，這一風潮持續了近兩百年時間，史稱百年翻譯運動，《幾何原本》便在這時候流入了阿拉伯世界。
忽必烈時期，波斯天文學家扎馬魯丁將幾何學帶入中國，稱之為「形學」，據說在《射鵰俠侶》裡被楊過殺死的蒙哥大汗就經常為人解說《幾何原本》中的圖形為樂。
而扎馬魯丁帶到中國的阿拉伯文《四擘算法段數》據說就是《幾何原本》，可惜這部書並沒有引起多少人的重視。
「朝聞道，夕死可矣，今日從馬賢弟口中得此秘法，死無憾矣！」吳敬激動地難以自己。
